MINTmachen!: Mathematik ist überall

Thema: Mathematik ist überall!

Dieses Angebot richtete sich an Schülerinnen der Klassenstufen 7-10. Mathematik durchdringt unser gesamtes Leben! Diese Tatsache ist uns aber nur selten bewusst. Mathematik ist die Sprache, in der Wissenschaftler Modelle beschreiben. Ob in der Biologie, der Technik oder der Archäologie: Um Zusammenhänge zwischen Parametern wie Sonnenscheindauer, Kraftübersetzung oder Verwitterung und den Veränderungen eines Sytems zu beschreiben, werden diese Modelle aufgestellt und berechnet. Hier stand Mathematik zum Anfassen und Selbermachen im Vordergrund.

Beispiele aus dem Workshop

1. Puzzle-Modelle

Katrin hat sich an ein großes Puzzle herangewagt. Um einen Überblick zu bekommen, fängt sie damit an, Randteile von Nicht-Randteilen zu trennen.
Bei dieser etwas stumpfsinnigen Arbeit zählt sie die Teile mit, die sie sich ansieht. Von den ersten 90 Teilen, die sie aus der Schachtel nimmt, sind 10 Randteile.
Frage: Wieviele Teile hat das Puzzle?

Um diese Aufgabe zu lösen muss man zuerst ein paar weitere Annahmen machen.

Annahmen:

Es handelt sich um ein rechteckiges Puzzle. (Würden wir annehmen wir hätten ein rundes Puzzle, so würden wir zu einem ganz anderen Ergebnis kommen. Oder wenn das Puzzle zum Beispiel eine Kugel wäre, dann gäbe es gar keine Randteile, da eine Kugel keinen Rand hat.)
Wir haben ein Zeilenpuzzle, also ein Puzzle mit rechteckigen Teilen, die immer eins nach dem anderen nebeneinader und untereinander angesteckt werden.
Das Teileverhältnis Breite zu Höhe "passt". Wir haben also ein gewöhnliches Puzzle und keines, das sehr schmal und lang ist oder dünn und hoch. Das Teileverhältnis (Breite : Höhe) liegt also zwischen 4:3 (Seitenverhältnis wie bei einem Blatt Papier) und 1:1 (Quadrat).
Zudem können wir auch noch annehmen, dass die Auswahl der Teile, die Katrin zuerst sortiert, repräsentativ ist. Das heißt, wir können davon ausgehen, dass unter den nächsten 90 Teilen aus der Schachtel wieder ungefähr 10 Randteile sind.

So erhalten wir unsere

Erste Erkenntnis:

Das Verhältnis zwischen "Nicht-Randteilen" und "Teilen ingesamt" beträgt 10 : 90 = 0,11, also 11%.
Jetzt können wir ein bisschen ausprobieren.

Beobachtung:

Anzahl der Puzzleteile des gesamten Puzzles	Breite x Höhe (in Puzzleteilen)	Anzahl Randteile	Verhältnis (Randteile : Teile ingesamt)
2000	50 x 40	176	8,8%
1400	40 x 35	146	10,4%
1000	40 x 25	126	12,6%
500	25 x 20	86	17,2 %
300	20 x 15	66	22,0%
99	11 x 9	36	36,4%
20	5 x 4	14	70,0%

Stellen wir jetzt ein paar Formeln auf, die uns helfen sollen das Problem zu lösen.

Formeln:

b: Breite h: Höhe
Anzahl aller Teile: b · h
Randteile: 2b + 2h - 4

Annahme: 3 · b = 4 · h     (also Breite : Höhe = 4 : 3)

⇒ h = ¾ b
⇒ Randteile:    2b + ³/₂ b - 4
⇒ Anzahl aller Teile:    ¾ b²
⇒ Verhältnis (Randteile : alle Teile) :

Da wir wissen, dass das Verhältnis zwischen "Nicht-Randteilen" und "Teilen ingesamt" 10 : 90 = 0,11 beträgt, müssen wir folgende Gleichung lösen:

Das können wir zum Beispiel tun, indem wir für b ein paar Werte ausprobieren:

b	Verhältnis (Randteile : Teile ingesamt) (also b in die Formel einsetzen)
10	0,41
20	0,22
30	0,15
40	0,11
50	0,09

So haben wir unsere Lösung bei b=40 gefunden. Jetzt müssen wir nur die Anzahl der Puzzleteile berechen.

Anzahl aller Teile:    b · h mit h = ¾ b
                      Also:    b · ¾ b
                                  40 · ¾ 40 = 1200

Anwort: Das Puzzle hat wahrscheinlich 1200 Teile.

Interessantes
Wie im Workshop erwähnt, gibt es von Ravensburger © ein ganz weißes Puzzle.

Das Puzzle bei Ravensburger ©.

Auch sehr interessant ist das Buch Game, Set & Maths .

2. Das ist Weine-Mathematik ...

Elena und Enrico Macurati haben kleinere Weinberge in der Toscana. Mehrere Parzellen sind mit sehr alten Rebstöcken bestellt und die Macuratis planen schon, diese Weinstöcke zu erneuern.
Um nun für die Parzellen die besten Rebsorten zu finden, hat Enrico den Plan gefasst, die sieben in Frage kommenden Rebsorten zu testen: Aleatico, Barbera, Caloria, Dolcetto, Enantion, Fortana und Gamay.
Er möchte von jeder dieser Rebsorten einige Stöcke anpflanzen und dann in den nächsten zehn Jahren prüfen, welche Weinsorte in seinen Weinbergen die besten Erträge bringt.
Die Bodengrundlage der Weinberge ist dabei in etwa gleich, aber Sonnenscheindauer und Niederschlagsmenge sind in den unterschiedlich geneigten und gelegenen Parzellen doch sehr verschieden.
Elena hat sich daher folgende Randbedingungen ausgedacht:

Auf jedem Weinberg werden drei Sorten gleichzeitig und gemischt angebaut.
Je zwei Weinberge haben immer eine Sorte gemeinsam, um die relativen Lagen vergleichen zu können.
Die Weinsorten werden so verteilt, dass jede Sorte mit jeder anderen Sorte einmal in einem gemeinsamen Weinberg steht.

Ist es überhaupt möglich, die Weinrebsorten so zu verteilen? Und wie sieht der Anbauplan aus? Wieviele Weinbergparzellen müssen neu bepflanzt werden?

Für die Lösung dieser Aufgabe schauen wir uns zuerst die dritte Bedingung an.
Jede Sorte soll einmal mit jeder anderen Sorte in einem gemeinsamen Weinberg stehen.
Der Übersichtlichkeit halber kürzen wir die Weinsorten mit A, B, C, D, E, F und G ab.

	A	B	C	D	E	F	G
Kombinationen
A	AA	AB	AC	AD	AE	AF	AG
B	BA	BB	BC	BD	BE	BF	BG
C	CA	CB	CC	CD	CE	CF	CG
D	DA	DB	DC	DD	DE	DF	DG
E	EA	EB	EC	ED	EE	EF	EG
F	FA	FB	FC	FD	FE	FF	FG
G	GA	GB	GC	GD	GE	GF	GG

Da in der Tabelle jede Kombination zweimal vorkommt (z.B.: AB und BA), können wie die Hälfte der Tabelle streichen.
Und auch die Felder AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG müssen wir nicht beachten, da diese ja keine Kombinationen aus zwei verschiedenen Sorten sind.
Deshalb sind das die 21 Kombinationen, die auf den Weinbergen einmal vorkommen müssen:

	A	B	C	D	E	F	G
übrige Kombinationen
A	AA	AB	AC	AD	AE	AF	AG
B	BA	BB	BC	BD	BE	BF	BG
C	CA	CB	CC	CD	CE	CF	CG
D	DA	DB	DC	DD	DE	DF	DG
E	EA	EB	EC	ED	EE	EF	EG
F	FA	FB	FC	FD	FE	FF	FG
G	GA	GB	GC	GD	GE	GF	GG

Da Elena in der ersten Bedinung festlegt, dass auf jedem Weinberg drei Sorten angebaut werden, wie zum Beispiel

A G F

, so haben wir immer auf einem Weinberg schon drei Kombinationen abgedeckt.
Hier wären das AG, AF und GF.

Wenn wir jetzt also auf jedem Weinberg höchstens drei Kombinationen unterbringen können und wir ingesamt 21 Kombinationen haben,
so brauchen wir mindestens 21:3 = 7 Weinberge.

Unter Beachtung der zweiten Bedingung (Je zwei Weinberge haben immer eine Sorte gemeinsam.) können wir nun beginnen unsere Felder mit den Weinsorten zu bepflanzen. Dabei spielt es keine Rolle, welche drei der sieben Sorten wir auf den ersten Weinberg setzten, denn die Sorten können untereinander beliebig vertauscht (permutiert) werden.

Bepflanzen wir doch einfach den ersten Weinberg wie folgt:

A B C

Für den zweiten Weinberg müssen wir beachten, dass er eine Sorte mit dem ersten Weinberg gemeinsam hat, aber gleichzeit auch noch möglichst viele neue Kombinationen enthält, damit wir alle Kombinationen auf möglichst wenigen Weinbergen unterbringen können. Dazu nehmen wir einfach wieder A (man kann natürlich auch B oder C nehmen) und pflanzen noch zwei Sorten, die wir bisher noch nicht hatten. Zum Beispiel:

A D E

Jetzt fehlen für A nur noch die Kombinationen mit F und G. Also könnten wir diese auf den nächtsten Weinberg setzten. Wir bekommen dadurch wieder drei Kombinationen dazu (also so viele wie möglich) und haben eine Sorte mit den anderen beiden Weinbergen gemeinsam.

A F G

Für unsere nächtse Belegung müssen wir uns überlegen: A haben wir schon einmal mit jeder Sorte auf einem Weinberg, also brauchen wir A nicht noch einmal anpflanzen. Nehmen wir einfach die nächste Sorte. B wurde schon mit A und C kombiniert. Deshalb nehmen wir jetzt zu B noch D und F dazu, damit unser neuer Weinberg auch mit den drei anderen jeweils eine Sorte gemeinsam hat.

B D F

Nun ist es naheliegend B mit E und G zu kombimieren, da dann der neue Weinberg wieder mit jedem anderen eine Sorte gemeinsam hat und wir wieder drei neue Kombinationen abgedeckt haben.

B E G

B wurde jetzt mit allen anderen Sorten einmal zusammen angepflanzt, also sind wir auch mit B fertig. Weiter geht es zum Beispiel mit C. (Es ist immer einfacher der Reihenfolge nach die Buchstaben durchzugehen, da man so besser den Überblick behält. Aber es ist natürlich nicht notwendig.)
C muss noch mit D, E, F und G kombimiert werden, allerdings so, dass der neue Weinberg wieder mit allen anderen eine Sorte gemeinsam hat. Da gibt es nur zwei Möglichkeiten. Die erste ist:

C D G

Und die zweite ist:

C E F

Kontrollieren wir für D, E, F und G, ob diese auch mit allen anderen Sorten kombiniert wurden, so stellen wir fest, dass dies der Fall ist.
Das heißt, die Anworten auf die Fragen in der Aufgabe sind:

Ja, es ist möglich die Weinrebsorten so zu verteilen, dass alle Bedingungen erfüllt sind.

Der Anbauplan könnte wie im Beispiel oben aussehen. Aber wie gesagt, kann man hier auch die Buchstaben permutieren, also beispielsweise die Sorte A mit der Sorte F vertauschen, wenn man diese Vertauschung auf JEDEM Weinberg vornimmt:

F B C

F D E

F A G

B D A

B E G

C D G

C E A

Und es müssen vier Weinberge neu bepflanzt werden, da wir sieben brauchen und drei schon vorhanden sind.

Diese Aufgabe kann man auch mit höherer Mathematik sehr geschickt lösen. Hier findet ihr die Lösung auf Basis projektiver Geometrie.
Auch findet ihr im Buch "Another Fine Math You've Got Me Into" viele tolle Aufgaben und Rätsel dieser Art.